种树系列一:AVL树
又要开始紧张刺激的一波数据结构和算法的学习之旅了,先从种树开始!
基本打算是从《Data Structures and Algorithm Analysis》开始看起,结合一些大牛的博客或者模板,希望这个暑假能有所收获!
平衡二叉树(Balanced Binary Tree),是二叉查找树的一个进化体,满足二叉查找树的性质,并且对于任意一个节点,它的左子树深度与右子树深度差值不大于1,这样就能保证对一个节点的插入、删除、查找操作能够在\(O(\log{N})\)复杂度内实现。
实现平衡二叉树的一种方式就是AVL。AVL核心的操作就是树节点的旋转,当插入或删除一个节点后,左右子树高度差大于1,不满足平衡树的性质时,就需要进行旋转。旋转分为单旋转和双旋转两种,而对应于左右子树又分为四个函数实现:
1、左左单旋(函数SingleRotateLeft)
2、右右单旋(函数SingleRotateRight)
3、左右双旋(函数DoubleRotateLR)
4、右左双旋(函数DoubleRotateRL)
关于旋转具体操作的方式,基本讲到AVL的书上都会有详细的图解,在此我就不暴露我的语言表达水平了。虽然AVL的操作很容易理解,但我实现AVL的过程确是艰难的。首先是指针,对于见到指针就头疼的我竟然用指针写了一次AVL,其次是递归函数的写法,最后是删除节点的操作,删除操作一直ACCESS_VIOLATION,写的我都快崩溃了,最后我找到了这篇博客,参考了一下他的思想,谢天谢地最后执行起来貌似终于没bug了。
给上HDOJ的几道关于AVL的题目吧
这道题求\(n\)个节点的AVL树最大深度,根据AVL最小节点数\(f(n)\)与深度\(n\)的递推关系\(f(n)=f(n-1)+f(n-2)+1\)可以得到。
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#include<iostream> #include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> using namespace std; int main() { int size[100000],i,n; size[0]=1; size[1]=2; for(i=2;i<=43;i++){ size[i]=size[i-1]+size[i-2]+1; } while(~scanf("%d",&n)&&n) { for(i=0;i<=43;i++) if(n<size[i]){ printf("%d\n",i-1); break; } } return 0; } |
HDOJ4006 The kth greater number
在插入中动态查询第k大,正好是AVL所支持的操作。但由于这道题的k是给定不变的,所以是道可以用优先队列秒杀的水题,插入保证优先队列中有小于等于k个元素,查询就是取堆顶元素。
附上我的代码,其中用类封装了AVL,写了插入和查询两个操作
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#include<iostream> #include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> using namespace std; class AVLNode{ public: int v; AVLNode* left; AVLNode* right; int height,size; int frequence; AVLNode():left(NULL),right(NULL),height(0),v(0),size(0),frequence(1){} }; class AVLTree{ private: AVLNode* root; AVLNode* insert(AVLNode* &T,int x); //插入 int find_kth_big(AVLNode* &T,int k); //查找第k大 int Height(AVLNode* &T); //求树的高度 int Size(AVLNode* &T); //求树的大小 void Update(AVLNode* &T); //更新节点信息 AVLNode* SingleRotateLeft(AVLNode* &k2); //左左情况下的旋转 AVLNode* SingleRotateRight(AVLNode* &k2); //右右情况下的旋转 AVLNode* DoubleRotateLR(AVLNode* &k3); //左右情况下的旋转 AVLNode* DoubleRotateRL(AVLNode* &k3); //右左情况下的旋转 public: AVLTree():root(NULL){} void Insert(int x);//插入接口 int Findk(int k);//查询第k大接口 }; int AVLTree::Height(AVLNode* &T) { if(T==NULL) return -1; return T->height; } int AVLTree::Size(AVLNode* &T) { if(T==NULL) return 0; return T->size; } void AVLTree::Update(AVLNode* &T) { T->height=max(Height(T->left),Height(T->right))+1; T->size=Size(T->left)+Size(T->right)+T->frequence; } AVLNode* AVLTree::SingleRotateLeft(AVLNode* &k2) { AVLNode* k1=k2->left; k2->left=k1->right; k1->right=k2; Update(k2); Update(k1); return k1; } AVLNode* AVLTree::SingleRotateRight(AVLNode* &k2) { AVLNode* k1=k2->right; k2->right=k1->left; k1->left=k2; Update(k2); Update(k1); return k1; } AVLNode* AVLTree::DoubleRotateLR(AVLNode* &k3) { AVLNode* k1=k3->left; k3->left=SingleRotateRight(k1); return SingleRotateLeft(k3); } AVLNode* AVLTree::DoubleRotateRL(AVLNode* &k3) { AVLNode* k1=k3->right; k3->right=SingleRotateLeft(k1); return SingleRotateRight(k3); } AVLNode* AVLTree::insert(AVLNode* &T,int x) { if(T==NULL){ T=new AVLNode(); T->v=x; } else{ if(x<T->v){ T->left=insert(T->left,x); if(Height(T->left)-Height(T->right)==2) if(x<T->left->v) T=SingleRotateLeft(T); else T=DoubleRotateLR(T); } else if(x>T->v){ T->right=insert(T->right,x); if(Height(T->right)-Height(T->left)==2) if(x>T->right->v) T=SingleRotateRight(T); else T=DoubleRotateRL(T); } else (T->frequence)++; } Update(T); return T; } int AVLTree::find_kth_big(AVLNode* &T,int k) { if(T->right==NULL){ if(T->frequence>=k) return T->v; else return find_kth_big(T->left,k-(T->frequence)); } else{ if(Size(T->right)>=k) return find_kth_big(T->right,k); else if(Size(T->right)+T->frequence>=k) return T->v; else find_kth_big(T->left,k-(T->frequence)-Size(T->right)); } } void AVLTree::Insert(int x) { root=insert(root,x); } int AVLTree::Findk(int k) { return find_kth_big(root,k); } int n,k; void solve() { AVLTree AVL; int i,x; char s[10]; for(i=1;i<=n;i++){ scanf("%s",s); if(s[0]=='I'){ scanf("%d",&x); AVL.Insert(x); } else printf("%d\n",AVL.Findk(k)); } } int main() { while(~scanf("%d%d",&n,&k)) solve(); return 0; } |
需要三个操作,插入、删除、查询中间值,在上题AVL类的基础上添加了删除操作,删除操作有两种,一种是把整个节点删除,另一种是把单个节点的计数值减一(frequence–),所以看上去比较累赘。但这道题保证所有数字不同,似乎不需要第二种删除,不过我还是把两种操作都写了,当做可能有相同数字来处理。还记得第一次做这道题的时候贴了Treap的模板,虽然我还不会Treap。。。模板大法好啊!
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#include<iostream> #include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> #include<queue> using namespace std; class AVLNode{ public: int v; AVLNode* left; AVLNode* right; int height,size; int frequence; AVLNode():left(NULL),right(NULL),height(0),v(0),size(0),frequence(1){} }; class AVLTree{ private: AVLNode* root; AVLNode* insert(AVLNode* &T,int x); //插入 AVLNode* delete_x(AVLNode* &T,int x); //删除 AVLNode* delete_node(AVLNode* &T,int x); //删除整个节点 int find_kth_big(AVLNode* &T,int k); //查找第k大 int Height(AVLNode* &T); //求树的高度 int Size(AVLNode* &T); //求树的大小 void Update(AVLNode* &T); //更新节点信息 AVLNode* SingleRotateLeft(AVLNode* &k2); //左左情况下的旋转 AVLNode* SingleRotateRight(AVLNode* &k2); //右右情况下的旋转 AVLNode* DoubleRotateLR(AVLNode* &k3); //左右情况下的旋转 AVLNode* DoubleRotateRL(AVLNode* &k3); //右左情况下的旋转 public: AVLTree():root(NULL){} void Insert(int x);//插入接口 int Findk(int k);//查找第k大接口 void Delete(int x);//删除接口 }; int AVLTree::Height(AVLNode* &T) { if(T==NULL) return -1; return T->height; } int AVLTree::Size(AVLNode* &T) { if(T==NULL) return 0; return T->size; } void AVLTree::Update(AVLNode* &T) { T->height=max(Height(T->left),Height(T->right))+1; T->size=Size(T->left)+Size(T->right)+T->frequence; } AVLNode* AVLTree::SingleRotateLeft(AVLNode* &k2) { AVLNode* k1=k2->left; k2->left=k1->right; k1->right=k2; Update(k2); Update(k1); return k1; } AVLNode* AVLTree::SingleRotateRight(AVLNode* &k2) { AVLNode* k1=k2->right; k2->right=k1->left; k1->left=k2; Update(k2); Update(k1); return k1; } AVLNode* AVLTree::DoubleRotateLR(AVLNode* &k3) { AVLNode* k1=k3->left; k3->left=SingleRotateRight(k1); return SingleRotateLeft(k3); } AVLNode* AVLTree::DoubleRotateRL(AVLNode* &k3) { AVLNode* k1=k3->right; k3->right=SingleRotateLeft(k1); return SingleRotateRight(k3); } AVLNode* AVLTree::insert(AVLNode* &T,int x) { if(T==NULL){ T=new AVLNode(); T->v=x; } else{ if(x<T->v){ T->left=insert(T->left,x); if(Height(T->left)-Height(T->right)==2) if(x<T->left->v) T=SingleRotateLeft(T); else T=DoubleRotateLR(T); } else if(x>T->v){ T->right=insert(T->right,x); if(Height(T->right)-Height(T->left)==2) if(x>T->right->v) T=SingleRotateRight(T); else T=DoubleRotateRL(T); } else (T->frequence)++; } Update(T); return T; } AVLNode* AVLTree::delete_x(AVLNode* &T,int x) { if(T==NULL) return T; if(x<T->v){ T->left=delete_x(T->left,x); if(Height(T->right)-Height(T->left)==2) if(T->right->left!=NULL&&(Height(T->right->left)>Height(T->right->right)) ) T=DoubleRotateRL(T); else T=SingleRotateRight(T); } else if(x>T->v){ T->right=delete_x(T->right,x); if(Height(T->left)-Height(T->right)==2) if(T->left->right!=NULL&& (Height(T->left->right)>Height(T->left->left) )) T=DoubleRotateLR(T); else T=SingleRotateLeft(T); } else{ if(T->frequence>1){ T->frequence--; return T; } else{ if(T->left!=NULL&&T->right!=NULL){ AVLNode *temp=T->right; while(temp->left!=NULL) temp=temp->left; T->v=temp->v; T->frequence=temp->frequence; T->right=delete_node(T->right,temp->v); if(Height(T->left)-Height(T->right)==2) if(T->left->right!=NULL&& (Height(T->left->right)>Height(T->left->left) )) T=DoubleRotateLR(T); else T=SingleRotateLeft(T); } else{ AVLNode *temp=T; if(T->left==NULL) T=T->right; else if(T->right==NULL) T=T->left; delete temp; temp=NULL; } } } if(T!=NULL) Update(T); return T; } AVLNode* AVLTree::delete_node(AVLNode* &T,int x) { if(T==NULL) return T; if(x<T->v){ T->left=delete_node(T->left,x); if(Height(T->right)-Height(T->left)==2) if(T->right->left!=NULL&&(Height(T->right->left)>Height(T->right->right)) ) T=DoubleRotateRL(T); else T=SingleRotateRight(T); } else if(x>T->v){ T->right=delete_node(T->right,x); if(Height(T->left)-Height(T->right)==2) if(T->left->right!=NULL&& (Height(T->left->right)>Height(T->left->left) )) T=DoubleRotateLR(T); else T=SingleRotateLeft(T); } else{ if(T->left!=NULL&&T->right!=NULL){ AVLNode *temp=T->right; while(temp->left!=NULL) temp=temp->left; T->v=temp->v; T->frequence=temp->frequence; T->right=delete_node(T->right,temp->v); if(Height(T->left)-Height(T->right)==2) if(T->left->right!=NULL&& (Height(T->left->right)>Height(T->left->left) )) T=DoubleRotateLR(T); else T=SingleRotateLeft(T); } else{ AVLNode *temp=T; if(T->left==NULL) T=T->right; else if(T->right==NULL) T=T->left; delete temp; temp=NULL; } } if(T!=NULL) Update(T); return T; } int AVLTree::find_kth_big(AVLNode* &T,int k) { if(T->right==NULL){ if(T->frequence>=k) return T->v; else return find_kth_big(T->left,k-(T->frequence)); } else{ if(Size(T->right)>=k) return find_kth_big(T->right,k); else if(Size(T->right)+T->frequence>=k) return T->v; else find_kth_big(T->left,k-(T->frequence)-Size(T->right)); } } void AVLTree::Insert(int x) { root=insert(root,x); } int AVLTree::Findk(int k) { return find_kth_big(root,k); } void AVLTree::Delete(int x) { delete_x(root,x); } int n; void solve() { AVLTree AVL; queue<int> qu; int i,x; char s[10]; for(i=1;i<=n;i++){ scanf("%s",s); if(s[0]=='i'){ scanf("%d",&x); AVL.Insert(x); qu.push(x); } else if(s[0]=='q'){ x=qu.size(); printf("%d\n",AVL.Findk(x-x/2)); } else{ AVL.Delete(qu.front()); qu.pop(); } } } int main() { int t=0; while(~scanf("%d",&n)){ printf("Case #%d:\n",++t); solve(); } return 0; } |
最后:
AVL应该是一个比较古老也比较基础的算法了吧,它的很多操作早就被速度更快的其他算法(例如伸展树、红黑树以及上面提到的Treap等等)取代,算是一滴时代的眼泪。
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2条评论
Orz GKP 神犇 …
Orz 鹏巨带我啊。。