一个精妙无比的论证

作者: shad0w_walker(admin) 分类: 谜数学 发布时间: 2015-03-26 01:09 ė 6 11条评论

走进康托的世界,就像走进天堂一般美妙,素朴集合论充满了奇幻色彩,可惜有个叫罗素的人闯了进来

在我看过的无数数学证明中,这是最精妙的一个——对角论证法

     证明:

[0,1]不是可数无穷大的

1、假设[0,1]是可数无穷大的,那么一定可以将[0,1]内所有数罗列出来,成为数列(r1,r2,r3,r4,r5,r6……)

2、将这个数列中的数以小数的形式表达出来,对于有两种表达方式的,如0.4999……=0.5000……,我们取前者

3、这样,这个数列可以表现如下:

        r= 0 . 5 6 0 2 3 9 8 7 ……

        r= 0 . 9 1 2 3 4 1 4 3 ……

        r= 0 . 1 8 0 0 3 2 9 8 ……

        r= 0 . 7 1 2 5 3 2 0 9 ……

        r= 0 . 4 3 2 8 6 4 1 9 ……

        r= 0 . 2 3 4 9 8 2 3 1 ……

        …………………………………………

4、对于每个rk,我们考虑它小数点后的第k位:

        r= 0 . 5 6 0 2 3 9 8 7 ……

        r2 = 0 . 9 1 2 3 4 1 4 3 ……

        r= 0 . 1 8 0 0 3 2 9 8 ……

        r= 0 . 7 1 2 5 3 2 0 9 ……

        r= 0 . 4 3 2 8 6 4 1 9 ……

        r= 0 . 2 3 4 9 8 2 3 1 ……

        …………………………………………

5、我们构造一个数字x∈[0,1],它的小数点后每一位是这样定义的:

            ①如果rk的第k位为5,那么x的第k位为4

            ②如果rk的第k位不为5,那么x的第k位为5

    这样对于上面一个数列我们构造出了这样一个x=0 . 4 5 5 4 5 5……

6、根据x的定义,它的第k位与rk的第k位一定不同,也就是说它与数列中每个数都不同

    而根据假设,(r1,r2,r3,r4,r5,r6……)包含[0,1]内所有数,故存在n使得rn=x

    显然产生了矛盾,故不存在(r1,r2,r3,r4,r5,r6……)能够罗列[0,1]内所有数

7、所以假设“[0,1]是可数无穷大的”不成立


    这个证明是如此的简单易懂,看完之后带给人一种恍然大悟的感觉,称得上是精妙绝伦,这就是数学之美,感谢伟大数学家康托!

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11条评论

  1. Ivy_End 2015年3月26日 16:22 回复

    关于素数无穷也有一个类似奇妙的方法:
    假设素数有有限个。将所有的素数罗列出来:
    P1, P2, …, Pn
    构造一个新的数,为所有素数的和加一,那么没有任何一个数是它的约数,那么它是一个素数。与假设矛盾。
    Q.E.D.

    1. Ivy_End 2015年3月26日 22:01 回复

      纠错:“为所有素数的积加一”。

    2. shad0w_walker(admin)
      shad0w_walker(admin) 2015年3月27日 01:26 回复

      首先Orz一下万能的凯神。。
      构造法就是靠一点点灵感,想到了就能轻松做出来
      另外貌似证明[0,1]上数个数与自然数集子集个数相等也是一个很神奇的构造,用到了二进制

      1. Ivy_End 2015年3月27日 17:00 回复

        Orz,我听不懂你在说什么,打公式为什么不加一个MathJax用LaTeX。

        1. shad0w_walker(admin)
          shad0w_walker(admin) 2015年3月27日 22:22 回复

          我装了。。并不会。。。

      2. 唐鉴恒 2015年8月2日 07:44 回复

        小数二进制表示之后对应一下就行了吧…
        让我印象最深的是这道题
        试构造函数f(x),g(x),其定义域为(0,1),值域为[0,1],并且对于任意a属于[0,1],f(x)=a只有一解,而g(x)=a有无穷多个解。

  2. philippica 2015年3月28日 17:27 回复

    严谨一点其实还没完,你没有证明构造的数x一定存在,毕竟你要无穷做下去,而扯到无穷步操作用直觉往往会出错(比如著名的Banach-Tarski),最后再用闭区间套证明此点存在就好了

    1. shad0w_walker(admin)
      shad0w_walker(admin) 2015年3月29日 19:24 回复

      我还怎么继续装逼😒😒😒

  3. 唐鉴恒 2015年8月1日 15:25 回复

    《从一到无穷大》p16. 伽莫夫更换了表述使其更加轻松易懂。

    伽莫夫还说,世界上的无穷大一共只有三种。
    自然数个数
    线段点数
    平面曲线数
    不知道对不对。

    1. shad0w_walker(admin)
      shad0w_walker(admin) 2015年8月1日 23:24 回复

      抱歉这本书我听说过但没读过。我当时在看一本国人写的《集合论基础》,虽然感觉写的不咋样但在数学基础方面给了我很大的启蒙。
      然后以我的理解,康托尔的理论里无穷大应该是有无穷大种的。
      你说的这三种,自然数集、线段点集、平面曲线集的基数分别为ℵ₀、ℵ₁、ℵ2(直觉,说错了别打我。。),之间是幂集关系,并且这个关系可以无限搞下去。另外还有一个直观的想法就是,曲面数、曲体数又是多少。
      学弟你看完集合论肯定能回来虐我了(哭

  4. 唐鉴恒 2015年8月2日 07:33 回复

    去网上找了找,似乎是这样的。。。我还是去努力多看点书吧,现在的知识储备太少了。
    首先最”小”的无穷大是 可数(可列) ,可以写成一个完整序列.
    并且用希伯来字母表中第一个字母 阿列夫(或 阿列夫0) 来表示.

    自然数,整数,有理数的个数就是可数的.

    可以证明:阿列夫0+阿列夫0=阿列夫0,阿列夫0×阿列夫0=阿列夫0.
    但是:2^阿列夫0>阿列夫0.

    记:阿列夫1=2^阿列夫0.

    实数的个数,是阿列夫1.

    同样,记:阿列夫2=2^阿列夫1,
    一般地,记:阿列夫n=2^阿列夫(n-1).

    于是就有:阿列夫0,阿列夫1,……,阿列夫n,……

    然后,还可以证明,存在比所有的 “阿列夫0,阿列夫1,……,阿列夫n,……” 都大的无穷大.
    记这个无穷大为 阿列夫ω.

    然后呢,记 阿列夫ω+1=2^阿列夫ω, 阿列夫ω+n=2^阿列夫ω+(n-1)

    又得到一列无穷大 :阿列夫ω,阿列夫ω+1,……阿列夫ω+n,……

    同样,存在比所有的 “阿列夫ω,阿列夫ω+1,……阿列夫ω+n,……” 都大的无穷大.
    记这个无穷大为 阿列夫2ω.

    然后呢,当然还有:阿列夫3ω,阿列夫4ω,……阿列夫nω,……

    于是又有比所有的”阿列夫ω,阿列夫2ω,……阿列夫nω,……” 都大的无穷大.
    这个无穷大当然也有记号,为阿列夫ωω,(两个ω是一高一低的,这里没法打出来).

    同样还有:阿列夫ωωω,阿列夫ωωωω,……
    还有比所有的”阿列夫ω,阿列夫ωω,……”都大的.

    ……

    还没到头了,可以一直这样下去,一层又一层,永无止境.

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